Filosofía de la Matemática

Aproximaciones a las matemáticas desde la :
Lógica
Teoría del conocimiento (Epistemología)
Metafísica (Ontología)

Problemas de la filosofía de la matemática:

El contenido de las matemáticas
La naturaleza de los entes matemáticos
Los fundamentos de las matemáticas
La relación de la matemática y las otras ciencias
La relación de la matemática y la realidad

El contenido de las matemáticas

Muestra las cuestiones de que se ocupa la matemática
Muestra las ramas en que se divide y los métodos que usa

La naturaleza de los entes matemáticos
Realismo
Conceptualismo
Nominalismo
Apriorismo
Empirismo
Objetivismo
Existencialismo

Realismo, Conceptualismo y Nominalismo.

Teoría de los universales

Universalia ante rem: los entes matemáticos existen antes de las cosas (existencia metafísica u ontológica)

Esse abiectivum; fundamentum in re: los entes matemáticos existen en tanto poseen fundamentos de la realidad (conceptos)

Universalia post rem Los entes matemáticos son solamente nombres, adoptados por convención y aplicables a la realidad por cuanto son en sí mismos vacíos


Apriorismo y Empirismo

Los entes matemáticos son concepciones innatas, completamente independientes de la experiencia aunque aplicables a ella.

Los entes matemáticos son obtenidos por medio de abstracciones efectuadas a partir de la experiencia; son por así decirlo, idealizaciones máximas de nuestras percepciones sensibles.

Objetivismo y Existencialismo

Los objetos matemáticos no existen, subsisten o consisten (consistencia, esencia en el sentido fenomenológico)

Hay que distinguir entre pensamiento matemático (formalismo) y el objeto del pensamiento matemático (intuicionismo)


Los fundamentos de las matemáticas

Logicismo
G. Frege (1848 – 1925),
Giuseppe Peano (1858 – 1932),
B. Russell (1872 – 1970) y
A. N. Whitehead (1861 – 1947)

Reducción de la matemática a la lógica
Dificultad para situar toda la matemática dentro de la lógica

Formalismo

David Hilbert (1862 – 1943)

La matemática puede formalizarse por completo.
El método adecuado consiste en probar la no contradicción de las teorías matemáticas.

Intuicionismo

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966).
Arend Heyting (1898 – 1991).

Puede hablarse de entes matemáticos solamente si podemos construirlos mentalmente.
Hay entes matemáticos solamente cuando son efectivamente construidos matemáticamente. (G. F. C. Griss)

La relación de la matemática y las otras ciencias

Matemática como lenguaje universal de todas las ciencias.
Aplicación decreciente de la matemática a las ciencias.
La matemática como aplicación peligrosa ( J. Schwartz)

La relación de la matemática y la realidad

Henri Poincaré: “ La posiblidad misma de la ciencia matemática parece una contradicción insoluble. Si esta ciencia sólo es deductiva, ¿de donde le viene este perfecto rigor que nadie piensa poner en duda? Si, por el contrario, todas las proposiciones que enuncia pueden deducirse una tras otra por medio de las reglas de la lógica formal, ¿cómo no se reduce la matemática a una tautología inmensa?

Albert Einstein: “ En la medida que las proposiciones matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas; y en medida que son ciertas no son reales”

Algunas soluciones

1. La matemática puede aplicarse a la realidad porque ella misma no dice nada: es como un marco vacío dentro del cual cabe todo. (Formalismo extremo)

2. La matemática puede aplicarse a la realidad, porque resulta empíricamente de un examen de lo real. (Empirismo)

3. La matemática puede aplicarse a la realidad, porque como suponía Kant son juicios sintéticos a priori. (Apriorísmo trascendental)

4. La matemática puede aplicarse a la realidad, porque ésta es de índole matemática. (Pitagorismo)